📈 Optimización de Funciones para Selectividad.

🎯 Introducción a la Optimización de Funciones

La optimización de funciones es un tema importantes en Matemáticas II y uno de los que más dificultades presenta al alumnado de Segundo de Bachillerato que se prepara para la Selectividad (PAU y PCE). La complejidad radica en que hay que analizar un problema de la vida real, traducirlo a una función matemática y aplicar derivadas para encontrar el máximo o mínimo de la función.

En este artículo, aprenderás cómo resolver ejercicios de optimización paso a paso, con ejemplos resueltos y estrategias para que domines este tema en el examen.

📌 Concepto de Función y Variables

Antes de empezar, es importante que recuerdes el concepto de función matemática.

Una función es una expresión matemática con dos variables x e y. El valor de y siempre depende del valor de x.

La variable y también se puede escribir como f(x).

En los problemas de optimización, trabajamos con funciones objetivo, que modelan la cantidad que queremos maximizar o minimizar.

Ejemplo:

• En un problema de área máxima, la función objetivo será el área en función de una variable.

• En un problema de costo mínimo, la función objetivo representará el costo total.

📝 Ejemplo Resuelto: Optimización del Área de un Jardín

💡 Problema: Encuentra las dimensiones de un jardín rectangular cuyo perímetro es de 20 m para que tenga la máxima área posible.

Paso 1: Visualización del Problema

Dibujamos el rectángulo del jardín y nombramos sus lados:

• Llamamos x al ancho del rectángulo (base).
• Llamamos y al alto del rectángulo (altura).

Paso 2: Definir la Función Objetivo

Hazte la pregunta clave: ¿Cuál es el objetivo?

En nuestro ejemplo, el objetivo es tener el área máxima. Por tanto, nuestra función objetivo será la fórmula del área de un rectángulo. Según el paso 1: Nuestra base es x, nuestra altura y.

Entonces:

Paso 3: Definir la Función Auxiliar

Necesitamos otra función para que nuestra función objetivo se quede solo con una incógnita, en lugar de dos.

Hazte la pregunta clave: ¿Qué dato extra me ha dado el enunciado?

En nuestro ejemplo, el enunciado nos ha dado el perímetro de 20 metros. Por tanto, nuestra función auxiliar será la fórmula del perímetro.

Entonces:

Paso 4: Derivar la Función y Encontrar los Extremos

Derivamos la función objetivo que ha quedado con una sola variable:

A(x) = 10x – x²

A'(x) = 10 – 2x

Igualamos a cero la función derivada y obtenemos los valores de x:

A'(x) = 0

10 – 2x = 0  → 10 = 2x → x = 5

Paso 5: Comprobar si es un Máximo 

Comprobamos si el valor obtenido es un máximo, tal y como pide el enunciado. Se puede hacer mediante dos métodos: con la gráfica de crecimiento o con la segunda derivada.

Paso 6: Responder a la pregunta del problema

¿Qué pide calcular el problema? : ¿Cuáles son las dimensiones del jardín?

Sustituimos el valor obtenido de x en la ecuación despejada de y en el paso 3:

y = 10 – x  →  y = 10 – 5  →  y = 5 m

SOLUCIÓN FINAL: La base del jardín mide 5 metros y su altura 5 metros. Por tanto, es un jardín cuadrado cuyos lados son iguales.

📚 Casos Comunes en la Selectividad (PAU y PCE)

🔹 Maximización de volumen 📦 (Ejemplo: optimizar el volumen de una caja sin tapa).
🔹 Minimización de costos 💰 (Ejemplo: minimizar costos de producción).
🔹 Optimización de trayectorias y rutas 🏃 (Ejemplo: calcular la trayectoria más corta entre dos puntos).

🎓 Consejos para Resolver Problemas en Selectividad

✔ Dibuja siempre el problema para visualizar mejor las relaciones entre variables.
✔ Presta atención a las restricciones en la función auxiliar.
✔ Revisa siempre con la segunda derivada si el resultado es máximo o mínimo.
✔ Practica ejercicios variados para dominar todas las posibilidades.

🏁 Conclusión: ¿Te ha resultado útil esta guía?

Esperamos que esta guía de optimización de funciones te haya ayudado a comprender mejor este tema clave en Matemáticas II para Selectividad (PAU y PCE). Con práctica y estrategia, dominarás la optimización.

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